Question

20．已知如图，BD，CE是⊙O的两条弦，OA平分∠DAE．求证：AB=AC．

Answer 1

分析 作OM⊥BD于M，ON⊥CE于N，根据角平分线的性质得到OM=ON，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到BD=CE，证明△AMO≌△ANO，得到AM=AN，得到答案．

解答 证明：作OM⊥BD于M，ON⊥CE于N，
∵OA平分∠DAE，
∴OM=ON，
∴BD=CE，
∵OM⊥BD于M，ON⊥CE，
∴MB=$\frac{1}{2}$DB，NC=$\frac{1}{2}$CE，
∴MB=NC，
在△AMO和△ANO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ANO}\\{MAO=∠NAO}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ANO，
∴AM=AN，
∴AB=AC．

点评 本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系和三角形全等的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．