如图.抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于点A.点B.与y轴交于点C.点D与点C关于x轴对称.点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为(m.0).过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A.点B.点C的坐标,(2)求直线BD的解析式,(3)在点P的运动过程中.是否存在点Q.使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若存在.求出点Q的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A，点B，点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（2）根据关于x轴对称的点纵坐标互为相反数，横坐标相等，可得D点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）当x=0时，y=2，即C点坐标为（0，2）；
当y=0时，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，
即A（-1，0），B（4，0）；

（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，-2），设直线BD的解析式为y=kx+b，
将B、D点坐标代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2；

（3）存在，∵点P的坐标为（m，0），PQ⊥x轴交抛物线于点Q，
设点Q的坐标为（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，
①当∠QBD=90°时，由勾股定理，得
BQ²+BD²=DQ²，即（m-4）²+（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）²+20²=m²+（-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+2）²，
解得m₁=3，m₂=4（不符合题意，舍），
∴Q（3，2）；
②当∠QDB=90°时，由勾股定理，得
BQ²=BD²+DQ²，即（m-4）²+（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）²=20+m²+（-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+2）²，
解得m₁=8，m₂=-1，
∴Q（8，-18）；Q（-1，0），
综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，-18），（-1，0）．