题目内容
（2012•道里区一模）如图，△ABC，A（
，0），B（3，4），将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处
（1）求点C的坐标；
（2）动点P从点0出发以5个单位，秒的速度沿OB向终点B运动，连接AP，将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q，且旋转角α=
∠OAB．设线段0Q的长为d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接CP，点P在运动的过程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此时t的值，并判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系；若不存在，请说明理由．
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（1）求点C的坐标；
（2）动点P从点0出发以5个单位，秒的速度沿OB向终点B运动，连接AP，将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q，且旋转角α=
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（3）在（2）的条件下，连接CP，点P在运动的过程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此时t的值，并判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设C（x，y）．利用两点间的距离公式可以求得点C的坐标；
（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．需要分类讨论：当0≤t＜
与
≤t≤1时，两种情况下的d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；
（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K．假设存在CP∥AQ，利用平行线的性质、旋转的性质推知PE=PK；然后根据线段间的数量关系可以求得此时的t的值；
欲判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系，只需证明点B与圆心P的距离是否等于⊙P的半径即可．
（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．需要分类讨论：当0≤t＜
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（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K．假设存在CP∥AQ，利用平行线的性质、旋转的性质推知PE=PK；然后根据线段间的数量关系可以求得此时的t的值；
欲判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系，只需证明点B与圆心P的距离是否等于⊙P的半径即可．
解答：
解：（1）设C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（
，0），B（3，4），
∴OA=
，AB=
=
；
又∵将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处，
∴OA=OC，AB=CB；
∴
，
解得
，
∴点C的坐标是（-
，4）；
（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（
，0），B（3，4），
∴OA=
，OG=3，BG=4，
∴AG=
，
∴AC=
（勾股定理）；
∴AE=
；
同理，OE=
；
①当0≤t＜
时，
∵OP=5t，
∴PE=
-5t，
∴
=
，
∴d=-
t+
；
②当
≤t≤1时，同理：d=
t-
；
（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=
∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF=
=
=
；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=
-5t，PB=5-5t，
∴
=
，
解得，t=
，
∴存在CP∥AQ，此时t=
；
∵
＜
≤1，
∴t=
时，OQ=d=
t-
=
，BP=OB-OP=5-5t=5-
×5=
，
∴BP=OQ，即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径，点B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此时t=
，且点B在⊙P上．
解：（1）设C（x，y）（x＜0，y＞0）．∵A（
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∴OA=
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(3-
|
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又∵将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处，
∴OA=OC，AB=CB；
∴
|
解得
|
∴点C的坐标是（-
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（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（
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| 6 |
∴OA=
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| 6 |
∴AG=
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| 6 |
∴AC=
| 20 |
| 3 |
∴AE=
| 10 |
| 3 |
同理，OE=
| 5 |
| 2 |
①当0≤t＜
| 1 |
| 2 |
∵OP=5t，
∴PE=
| 5 |
| 2 |
∴
| ||
| d |
| ||
|
∴d=-
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| 4 |
| 25 |
| 8 |
②当
| 1 |
| 2 |
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| 4 |
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| 8 |
（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=
| 1 |
| 2 |
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF=
| OF |
| OB |
| PK |
| PB |
| 4 |
| 5 |
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=
| 5 |
| 2 |
∴
5t-
| ||
| 5-5t |
| 4 |
| 5 |
解得，t=
| 13 |
| 18 |
∴存在CP∥AQ，此时t=
| 13 |
| 18 |
∵
| 1 |
| 2 |
| 13 |
| 18 |
∴t=
| 13 |
| 18 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 8 |
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| 18 |
| 13 |
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| 25 |
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∴BP=OQ，即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径，点B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此时t=
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点评：本题综合考查了翻折变换、勾股定理、菱形的性质以及点与圆的位置关系等知识点．注意，解答（2）时，要分类讨论，以防漏解．
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