题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）求点C在这条抛物线上时m的值．
（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．
①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．
（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（
，
））
【答案】分析：（1）将A（-1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx-2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=
x2-
x-2，即可求出m的值；
（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，-2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=
x2-
x-2的对称轴为直线x=
，然后根据点D在直线x=
上，即可求出点D的坐标；
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=
上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．
解答：解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0），
∴
解得
∴抛物线所对应的函数关系式为y=
x2-
x-2；
（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴点C的坐标为（m，2），
∵点C（m，2）在抛物线上，
∴
m2-
m-2=2，
解得m1=
，m2=
．
∴点C在这条抛物线上时，m的值为
或
；
（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=
CM=
MN，
∴CD=
CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴点D的坐标为（m，-2）．
又∵抛物线y=
x2-
x-2的对称轴为直线x=
，点D在这条抛物线的对称轴上，
∴点D的坐标为（
，-2）；
②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：
如果E点在E1的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），
∴点E1的（m-2，0），
∵点E1在抛物线y=
x2-
x-2的对称轴x=
上，
∴m-2=
，解得m=
；
如果E点在E2的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E2的（m+2，-4），
∵点E2在抛物线y=
x2-
x-2的对称轴x=
上，
∴m+2=
，解得m=-
；
如果E点在E3的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），
∴点E3的（m，2），
∵点E3在抛物线y=
x2-
x-2的对称轴x=
上，
∴m=
；
如果E点在E4的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E4的（m+4，-2），
∵点E4在抛物线y=
x2-
x-2的对称轴x=
上，
∴m+4=
，解得m=-
；
综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=-
或m=-
或m=
或m=
．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=
x2-x-2，即可求出m的值；（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，-2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=
x2-x-2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标；②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=
上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0），
∴
解得
∴抛物线所对应的函数关系式为y=
x2-x-2；（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴点C的坐标为（m，2），
∵点C（m，2）在抛物线上，
∴
m2-m-2=2，解得m1=
，m2=．∴点C在这条抛物线上时，m的值为
或；（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=
CM=MN，∴CD=
CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴点D的坐标为（m，-2）．
又∵抛物线y=
x2-x-2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上，∴点D的坐标为（
，-2）；②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：如果E点在E1的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），
∴点E1的（m-2，0），
∵点E1在抛物线y=
x2-x-2的对称轴x=上，∴m-2=
，解得m=；如果E点在E2的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E2的（m+2，-4），
∵点E2在抛物线y=
x2-x-2的对称轴x=上，∴m+2=
，解得m=-；如果E点在E3的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），
∴点E3的（m，2），
∵点E3在抛物线y=
x2-x-2的对称轴x=上，∴m=
；如果E点在E4的位置时，
∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E4的（m+4，-2），
∵点E4在抛物线y=
x2-x-2的对称轴x=上，∴m+4=
，解得m=-；综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=-
或m=-或m=或m=．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．
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