题目内容
设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
| d、a、r之间关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | |
d=a+r | |
| a≤d＜a+r | |
| d=a-r | |
| d＜a-r |
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
| d、a、r之间关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | |
| d=a+r | |
| a≤d＜a+r | |
| d＜a |
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=
a；（4）就r＞a的情形，请你仿照“当…时，⊙O与正方形的公共点个数可能有______个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．
（注：第（4）小题若多给出一个正确结论，则可多得2分，但本大题得分总和不得超过12分）．
【答案】分析：（1）、（2）可根据圆心和正方形的中心之间的距离，和正方形的边长与圆的半径的比较得出两个图形的位置关系；
（3）连接圆心与圆上的正方形的顶点，在所构成的直角三角形中，用r表示出圆心到弦的距离，然后根据勾股定理求出r的值；
（4）可先判断正方形与圆的位置关系，然后再判断公共点的个数．
解答：解：（1）
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0，1，2个；
（2）
r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0，1，2，4个；
（3）连接OC．
则OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF2+FC2=OC2，
即（2a-r）2+a2=r2，
4a2-4ar+r2+a2=r2，
5a2=4ar，
5a=4r，
∴r=
a．
（4）当a＜r＜
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当r=
a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④当
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；
⑤当
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．
点评：本题是一道较为新颖的几何压轴题．考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题．
（3）连接圆心与圆上的正方形的顶点，在所构成的直角三角形中，用r表示出圆心到弦的距离，然后根据勾股定理求出r的值；
（4）可先判断正方形与圆的位置关系，然后再判断公共点的个数．
解答：解：（1）
| d、a、r之间关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | 0 |
d=a+r | 1 |
| a≤d＜a+r | 2 |
| d=a-r | 1 |
| d＜a-r | 0 |
（2）
| d、a、r之间关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | 0 |
| d=a+r | 1 |
| a≤d＜a+r | 2 |
| d＜a | 4 |
（3）连接OC．
则OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF2+FC2=OC2，
即（2a-r）2+a2=r2，
4a2-4ar+r2+a2=r2，
5a2=4ar，
5a=4r，
∴r=
a．（4）当a＜r＜
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；②当r=
a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；③当
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；④当
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；⑤当
时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．点评：本题是一道较为新颖的几何压轴题．考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题．
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（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有 个；
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=
a；
（4）就r＞a的情形，请你仿照“当…时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．
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| d、a、r之间关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | |
d=a+r |
|
| a≤d＜a+r | |
| d=a-r | |
| d＜a-r |
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
| d、a、r之间关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | |
| d=a+r | |
| a≤d＜a+r | |
| d＜a |
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=
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（4）就r＞a的情形，请你仿照“当…时，⊙O与正方形的公共点个数可能有
（注：第（4）小题若多给出一个正确结论，则可多得2分，但本大题得分总和不得超过12分）．
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所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=
a．
（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
| d、a、r之间的关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | |
| d=a+r | |
| a-r＜d＜a+r | |
| d=a-r | |
| d＜a-r |
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
| d、a、r之间的关系 | 公共点的个数 |
| d＞a+r | |
| d=a+r | |
| a≤d＜a+r | |
| d＜a |
所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有
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所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；
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a．
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| d＞a+r | |
| d=a+r | |
| a-r＜d＜a+r | |
| d=a-r | |
| d＜a-r |
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| d＞a+r | |
| d=a+r | |
| a≤d＜a+r | |
| d＜a |
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