Question

16．已知△ABC的两边AB、AC的长恰好是关于x的方程x²+（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）求证：AB≠AC；
（2）如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值；
（3）填空：当k=k=-6或-7时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为14或16．

Answer 1

分析 （1）AB≠AC；就是要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即要有BC²=AC²+AB²，然后根据根与系数的关系用k表示AC²+AC²，得到k的方程，解方程，再根据题意取舍即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．

解答 （1）证明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，
即AB≠AC；
（2﹚解：当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²+（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=-（2k+3），AB•AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB•AC=25
∴（2k+3）²-2•（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=-（2k+3）＞0
∴k₁=2舍去
∴k=-5；
（3）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=-（2k+3），5AC=k²+3k+2，
解得k=-6或-7，
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．
即当k=-6或-7时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为14或16．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和一元二次方程的解法．