题目内容
如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上。
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵顶点A的横坐标为x=
=1，且顶点A在y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）；
（2）△ABD是直角三角形，
将A（1，-4）代入y=x2-2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3，
∴y=x2-2x-3，∴B（0，-3）
当y=0时，x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3
∴C（-1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4-3）2+12=2，AD2=（3-1）2+42=20，
BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，
即△ABD是直角三角形；
（3）存在．
由题意知：直线y=x-5交y轴于点A（0，-5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，
即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，
如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x1-5），
则G（1，x1-5）
则PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3
由勾股定理得：（1-x1）2+（1-x1）2=18，
x12-2x1-8=0，x1=-2，4
∴P（-2，-7），P（4，-1）
存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。
=1，且顶点A在y=x-5上，∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）；
（2）△ABD是直角三角形，
将A（1，-4）代入y=x2-2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3，
∴y=x2-2x-3，∴B（0，-3）
当y=0时，x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3
∴C（-1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4-3）2+12=2，AD2=（3-1）2+42=20，
BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，
即△ABD是直角三角形；
（3）存在．
由题意知：直线y=x-5交y轴于点A（0，-5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，
即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，
如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x1-5），
则G（1，x1-5）
则PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3
由勾股定理得：（1-x1）2+（1-x1）2=18，
x12-2x1-8=0，x1=-2，4
∴P（-2，-7），P（4，-1）
存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。
练习册系列答案
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