题目内容

（2012•金东区一模）已知：如图，直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，16），与直线y=x相交于点C．P（0，t）是y轴上的一个动点，过点P作直线l垂直y轴，与直线y=x相交于点D，与直线y=kx+b相交于点E，在直线l下方作一个等腰直角三角形DEF，使DF=DE，∠EDF=90°．
（1）求直线AB的解析式和C点的坐标；
（2）当点F落在x轴上时，求t的值；
（3）当t为何值时，以A，E，P，F为顶点的四边形是梯形？
分析：（1）把点A、B的坐标代入直线y=kx+b得到关于k、b二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解，联立两直线解析式，求解即可得到点C的坐标；
（2）利用直线解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，再根据点F在x轴上，DE=DF列式计算即可得解；
（3）根据梯形的底边平行，分①PE∥AF时，点F在x轴上，根据（2）的结论解答，②PF∥AE时，先根据点D、E的坐标求出DE的长度，然后表示出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线PF的解析式，然后根据平行直线的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值；③AP∥EF时，分点P在y轴正半轴与负半轴两种情况求出DE的长度，然后表示出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线AP、EF的解析式，然后根据平行直线的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值．
解答：解：（1）∵直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，16），
∴
8k+b=0
b=16
，
解得
k=-2
b=16
，
所以，直线AB的解析式为y=-2x+16，
联立
y=x
y=-2x+16
，
解得
x=
16
3
y=
16
3
，
所以，C点坐标为（
16
3
，
16
3
）；

（2）根据题意，点D、E的纵坐标都是t，
所以，-2x+16=t，
解得x=
16-t
2
，
所以，点D（t，t），E（
16-t
2
，t），
DE=|
16-t
2
-t|，
∵点F在x轴上，
∴|
16-t
2
-t|=t，
即
16-t
2
-t=t或
16-t
2
-t=-t，
解得t=
16
5
或t=16，
所以，t的值为
16
5
，16；

（3）①PE∥AF时，点F在x轴上，根据（2）的结论，
t=
16
5
或16，
当t=16时，P、B、E三点重合，以A，E，P，F为顶点的是三角形，不符合题意舍去，
所以，t=
16
5
；

②PF∥AE时，点D在点E的左边，
∵D（t，t），E（
16-t
2
，t），
∴DE=
16-t
2
-t=
16-3t
2
，
点F的纵坐标为：t-
16-3t
2
=
5t-16
2
，
∴点F（t，
5t-16
2
），
设直线PF的解析式为y=ex+f，
则
f=t
te+f=
5t-16
2
，
解得
e=
3t-16
2t
f=t
，
所以，直线PF的解析式为y=
3t-16
2t
x+t，
∵PF∥AE，
∴
3t-16
2t
=-2，
解得t=
16
7
；

③AP∥EF时，（i）若点P在y轴正半轴，则DE=t-
16-t
2
=
3t-16
2
，
点F的纵坐标为t-
3t-16
2
=
-t+16
2
，
∴点F的坐标为（t，
-t+16
2
），
设直线EF的解析式为y=cx+d，则
16-t
2
c+d=t
tc+d=
-t+16
2
，
解得
c=-1
d=
t+16
2
，
∴直线EF的解析式为y=-x+
t+16
2
，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直线AP的解析式为y=-
t
8
+t，
∵AP∥EF，
∴-
t
8
=-1，
解得t=8，

（ii）若点P在y轴负半轴，则DE=
16-t
2
-t=
16-3t
2
，
点F的纵坐标为t-
16-3t
2
=
5t-16
2
，
∴点F的坐标为（t，
5t-16
2
），
设直线EF的解析式为y=mx+n，则
16-t
2
m+n=t
tm+n=
5t-16
2
，
解得
m=1
n=
3t-16
2
，
∴直线EF的解析式为y=x+
3t-16
2
，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直线AP的解析式为y=-
t
8
+t，
∵AP∥EF，
∴-
t
8
=1，
解得t=-8，
综上所述，t的值为
16
5
，
16
7
，8，-8．
点评：本题是一次函数的综合题型，主要涉及到待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标，等腰直角三角形的性质，以及梯形的两底边互相平行，（3）求解思路比较复杂，且运算量较大，要分情况讨论求解．
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