Question

10．已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，△ABC三个頂点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）借助图中的网格，请只用直尺（不含刻度）完成以下要求：（友情提醒：请别忘了标注宇母）
①在图中找一点P，使得P到AB、AC的距离相等，且PA=PB；
②在x轴上找一点Q，使得△QAB的周长最小，并求此时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形；
（2）①作∠BAC的角平分线，作AB的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求；②作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于Q，则点Q即为所求．根据直线AB'的解析式即可得出点Q的坐标．

解答 解：（1）如图所示，△A₁B₁C₁即为所求；

（2）①如图所示，作∠BAC的角平分线，作AB的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求；
②如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于Q，则点Q即为所求，
∵A（1，1），B'（4，-2），
∴可设直线AB'为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{1=k+b}\\{-2=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x+2，
当y=0时，-x+2=0，
解得x=2，
此时点Q的坐标为（2，0）．

点评 本题主要考查了利用轴对称进行作图，解决问题的关键是掌握角平分线的性质，中垂线的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：两点之间，线段最短．