Question

已知△ABC，AC=BC，CD⊥AB于点D，点F在BD上，连接CF，AM⊥CF于点M，AM交CD于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，求证：DE=DF；
（2）如图2，当∠ACB=60°时，DE与DF的数量关系是______

Answer 1

【答案】分析：（1）此题需先根据已知条件得出AD=CD，∠DCF=∠FAM，∠ADE=∠FDC，再根据AAS证出△ADE≌△CDF，即可得出DE=DF；
（2）根据∠ACB=60°，得出△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB=30°，=Ctan30°=，再根据△ADE∽△CDF，得出=的值，即可得出DE与DF的数量关系；
（3根据已知条件得出EC的值，再设DE=x，则AD=4x，CD=4x，CE=3x，求出x的值，根据==，得出EP∥AB，从而证出△EPT为等边三角形，求出EG的值，从而得出EP=ET=3，即可求出线段GT的长．
解答：解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=45°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴AD=CD，
∵AM⊥CF，
∴∠DFC+∠FAM=90°，
∴∠DCF=∠FAM，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF；

（2）∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=30°，
∴=Ctan30°=，
∵∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴==，
∴DF=DE；

（3）∵tan∠EAF=tan∠ECM=，EM=，
∴EC=3，
设DE=x，则AD=4x，CD=4x，CE=3x，
∴x=1，
∴AD=4，DE=，AE=，AB=8，
∵==，
∴EP∥AB，
∵DF=DE，
∴∠PET=60°，
∴△EPT为等边三角形，
∴EG∥AC，
∴=，
∴EG=，
∴==，
∴EP=ET=3，
∴GT=ET-GT=；
点评：此题考查了等腰直角三角形，全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数值，平行线分线段成比例等知识点；是一道综合题，解题时要注意有关知识的综合应用．