题目内容
（2011•香坊区模拟）已知△ABC，AC=BC，CD⊥AB于点D，点F在BD上，连接CF，AM⊥CF于点M，AM交CD于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，求证：DE=DF；
（2）如图2，当∠ACB=60°时，DE与DF的数量关系是
（3）在2的条件若tan∠EAF=
，EM=
，连接EF，将∠DEF绕点E逆时针旋转，旋转后角的两边交线段CF于N、G两点，交线段BC于P、T两点（如图3），若CN=3FN，求线段GT的长．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，求证：DE=DF；
（2）如图2，当∠ACB=60°时，DE与DF的数量关系是
DF=
DE
| 3 |
DF=
DE
| 3 |
（3）在2的条件若tan∠EAF=
| ||
| 4 |
9
| ||
| 19 |
分析：（1）此题需先根据已知条件得出AD=CD，∠DCF=∠FAM，∠ADE=∠FDC，再根据AAS证出△ADE≌△CDF，即可得出DE=DF；
（2）根据∠ACB=60°，得出△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB=30°，
=Ctan30°=
，再根据△ADE∽△CDF，得出
=
的值，即可得出DE与DF的数量关系；
（3根据已知条件得出EC的值，再设DE=
x，则AD=4x，CD=4
x，CE=3
x，求出x的值，根据
=
=
，得出EP∥AB，从而证出△EPT为等边三角形，求出EG的值，从而得出EP=ET=3，即可求出线段GT的长．
（2）根据∠ACB=60°，得出△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB=30°，
| CD |
| AD |
| 3 |
| DF |
| DE |
| CD |
| AD |
（3根据已知条件得出EC的值，再设DE=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| CN |
| CF |
| CE |
| CD |
| 3 |
| 4 |
解答：解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=45°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴AD=CD，
∵AM⊥CF，
∴∠DFC+∠FAM=90°，
∴∠DCF=∠FAM，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF；
（2）∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=30°，
∴
=Ctan30°=
，
∵∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴
=
=
，
∴DF=
DE；
（3）∵tan∠EAF=tan∠ECM=
，EM=
，
∴EC=3
，
设DE=
x，则AD=4x，CD=4
x，CE=3
x，
∴x=1，
∴AD=4，DE=
，AE=
，AB=8，
∵
=
=
，
∴EP∥AB，
∵DF=
DE，
∴∠PET=60°，
∴△EPT为等边三角形，
∴EG∥AC，
∴
=
，
∴EG=
，
∴
=
=
，
∴EP=ET=3，
∴GT=ET-GT=
；
∴∠BAC=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=45°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴AD=CD，
∵AM⊥CF，
∴∠DFC+∠FAM=90°，
∴∠DCF=∠FAM，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF；
（2）∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=30°，
∴
| CD |
| AD |
| 3 |
∵∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴
| DF |
| DE |
| CD |
| AD |
| 3 |
∴DF=
| 3 |
（3）∵tan∠EAF=tan∠ECM=
| ||
| 4 |
9
| ||
| 19 |
∴EC=3
| 3 |
设DE=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴x=1，
∴AD=4，DE=
| 3 |
| 19 |
∵
| CN |
| CF |
| CE |
| CD |
| 3 |
| 4 |
∴EP∥AB，
∵DF=
| 3 |
∴∠PET=60°，
∴△EPT为等边三角形，
∴EG∥AC，
∴
| EG |
| AC |
| ME |
| MA |
∴EG=
| 18 |
| 7 |
∴
| EP |
| BD |
| CE |
| CD |
| 3 |
| 4 |
∴EP=ET=3，
∴GT=ET-GT=
| 3 |
| 7 |
点评：此题考查了等腰直角三角形，全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数值，平行线分线段成比例等知识点；是一道综合题，解题时要注意有关知识的综合应用．
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