Question

已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

分析：如图，AC=4，S₁+S₂=10，设BC=a，利用圆的面积公式得到S₁+S₂+S₃+S₄=

1

2

π×2²+

1

2

π×

1

4

a²=2π+

π

8

a²，于是有S₃+S₄=2π+

π

8

a²-10①，再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面积得到S₃+S₄，即S₃+S₄=

1

2

π×

16+a 2

4

-

1

2

×4a=

π

8

a²+2π-2a②，有①-②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和．

解答：解：如图，
AC=4，S₁+S₂=10，设BC=a，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=

1

2

π×2²+

1

2

π×

1

4

a²=2π+

π

8

a²，
∴S₃+S₄=2π+

π

8

a²-10①，
又∵AB²=4²+a²=16+a²，
∴S₃+S₄=

1

2

π×

16+a 2

4

-

1

2

×4a=

π

8

a²+2π-2a②，
①-②得，2π+

π

8

a²-10=

π

8

a²+2π-2a，解得a=5，
∴S₃+S₄=2π+

π

8

a²-10=2π+

π

8

×25-10≈6.1，
即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．
故选A．

点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR²．也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决．