题目内容

(2012•柳州一模)如图,已知A1A2=1,∠OA1A2=90°,∠A1OA2=30°,以斜边OA2为直角边作直角三角形,使得∠A2OA3=30°,依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形,则Rt△A2011OA2012的最小边长为(  )
分析:在直角三角形OA1A2中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA2=2A1A2,由A1A2的长求出OA2的长,在直角三角形OA2A3中,利用锐角三角函数定义得到tan∠A2OA3等于A2A3与OA2的比值,求出A2A3的长,再利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA3的长,同理求出A3A4的长,以此类推得到直角三角形△A2011OA2012的最小边长A2011A2012即可.
解答:解:在Rt△OA1A2中,A1A2=1,∠OA1A2=90°,∠A1OA2=30°,
∴OA2=2A1A2=2,
在Rt△OA2A3中,OA2=2,∠OA2A3=90°,∠A2OA3=30°,
∴A2A3=OA2tan∠A2OA3=2×
3
3
=
2
3
,OA3=2A2A3=
4
3

在Rt△OA3A4中,OA3=
4
3
,∠OA3A4=90°,∠A3OA4=30°,
∴A3A4=OA3tan∠A3OA4=
4
3
×
3
3
=
4
3
=(
2
3
2
以此类推,Rt△A2011OA2012的最小边长A2011A2012=(
2
3
2010
故选C.
点评:此题考查了含30°直角三角形的性质,锐角三角函数定义,属于规律型试题,利用了转化的思想,锻炼了学生归纳总结的能力.
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