题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），点B的坐标为（﹣8，6），直线BC∥x轴，交y轴于点C，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是 ， 当α=90°时， 
的值是 ．
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求 的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时，求△OPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP= 
BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）矩形；
（2）
解：①图2，
∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴ 
，即 
，
∴CP= 
，BP=BC﹣CP= 
．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴ 
，
∴ 
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴ 
，
∴ 
；
②图3，在△OCP和△B′A′P中， 
，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．
设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8﹣x）2+62=x2，
解得x= 
．
∴S△OPB′= 
× ×6= 
（3）
解：存在这样的点P和点Q，使BP= BQ．
点P的坐标是P1（﹣9﹣ 
，6），P2（﹣ 
，6）．
理由：
过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S△POQ= PQOC，S△POQ= OPQH，
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP= BQ，
∴BQ=2x，
如图4，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）/span>2，
解得x1=1+ ，x2=1﹣ （不符实际，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+ ，
∴P（﹣9﹣ ，6）．
如图5，当点P在点B右侧时，
∴OP=PQ=BQ﹣BP=x，PC=8﹣x．
在Rt△PCO中，（8﹣x）2+62=x2，解得x= ．
∴PC=BC﹣BP=8﹣ = ，
∴P（﹣ ，6），
综上可知，存在点P（﹣9﹣ ，6）或（﹣ ，6），使BP= BQ．
【解析】解：（1）图1，四边形OA′B′C′的形状是矩形；
∵点A的坐标为（﹣8，0），点B（﹣8，6），
∴AB∥OC，
∵BC∥x轴，
∴四边形OABC是平行四边形．
又OC⊥OA，
∴平行四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如图1，
BP=8，BQ=BP+OC=8+6=14，
∴ 
，
即是矩形的长与宽的比，则 
．
所以答案是矩形， ；
