Question

【题目】如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．

（1）设扇环的面积为S扇环 ， 的长为l1 ， 的长为l2 ， 线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1 ， l2 ， h的代数式表示S扇环 ， 并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：S扇环=（l1﹣l2）h，

证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r=

所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r

=l1﹣l2

=（l12﹣l22）

=（l1+l2）（l1﹣l2）

=（R+r）（l1﹣l2）

=（l1+l2）（R﹣r）

=（l1+l2）h，

故猜想正确．

（2）

解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，

则S扇环=（l1+l2）h

=（40﹣2h）h

=﹣h2+20h

=﹣（h﹣10）2+100

∵﹣1＜0，

∴开口向下，有最大值，

当h=10时，最大值是100，

即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．

【解析】（1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果即可；
（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．