Question

【题目】如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.

(1)求证：BG＝DE.

(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)8.

【解析】

（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论.

解：(1)∵四边形EFGH是矩形，

∴EH=FG，EH//FG，

∴∠GFH=∠EHF，

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，

∴∠BFG=∠DHE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BC，

∴∠GBF=∠EDH，

∴△BGF≌△DEH(AAS)，

∴BG=DE.

(2)连接EG，∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BC，

∵E为AD中点，

∴AE=ED，

∵BG=DE，

∴AE=BG，AE//BG，

∴四边形ABGE是平行四边形，

∴AB=EG，

∵EG=FH=2，

∴AB=2，

∴菱形ABCD的周长=8.