Question

已知抛物线y=ax²+bx+3与y=-x²+3x+2交于A、B两点，若A、B关于原点对称，则ab的值为

-

9

2

．

Answer 1

分析：设两交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），因为抛物线的交点和关于原点对称，则x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，构造方程组即可得到（a+1）x²+（b-3）x+1=0，由x₁+x₂=0，求出b的值，再求出a的值，代入ab即可求出答案．

解答：解：由题可得：ax²+bx+3=-x²+3x+2，
（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-

b-3

a+1

=0，两根之积为

1

a+1

＜0（关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数），
解得：b=3，a＜-1．
设两个交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
这两个根都适合第二个函数解析式，
代入第二个函数解析式得：y₁=-x₁²+3x₁+2，y₂=-x₂²+3x₂+2
那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入两根之积得

1

a+1

=-2，
解得a=-

3

2

，
故a=-

3

2

，b=3．
∴ab=3×（-

3

2

）=-

9

2

．
故答案为：-

9

2

．

点评：此题主要考查了二次函数的性质，本题用到的知识点为：两个函数有交点，那么应让这两个函数图象组成方程组，而后根据根与系数的关系求解．