Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，点G为AC中点，连接BG，CE⊥BG于F，交AB于E，连接GE，点H为AB中点，连接FH，以下结论：①∠ACE＝∠ABG；②CF＝；③∠AGE＝∠CGB；④FH平分∠BFE，其中正确的结论有（　　）个．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

如图，作AP⊥AC交CE的延长线于P，连接CH．构造全等三角形，证明△CAP≌△BCG（ASA），△EAG≌△EAP（SAS），即可判断（3）正确，利用四点共圆可以证明（4）正确，解直角三角形可以判定（2）错误．

解：如图，作AP⊥AC交CE的延长线于P，连接CH．

∵CE⊥BG，

∴∠CFB＝∠ACB＝90°，

∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠CBG+∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠CBG，

∵BG是△ABC的中线，AB＞BC，

∴∠ABG≠∠CBG，

∴∠ACE≠∠ABG，故（1）不合题意，

∵∠ACP＝∠CBG，AC＝BC，∠CAP＝∠BCG＝90°，

∴△CAP≌△BCG（ASA），

∴CG＝PA＝AG，∠BGC＝∠P，

∵AG＝AP，∠EAG＝∠EAP＝45°，AE＝AE，

∴△EAG≌△EAP（SAS），

∴∠AGE＝∠P，

∴∠AGE＝∠CGB，故（3）符合题意，

∵AB＝10，△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC＝10，

∴AG＝CG＝5，

∴BG＝＝5，

∵CGCB＝BGCF，

∴CF＝2，故（2）不合题意，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AH＝HB，

∴∠BCH＝∠ACH＝45°，

∵∠CFB＝∠CHB＝90°，

∴C，F，H，B四点共圆，

∴∠HFB＝∠BCH＝45°，

∴∠EFH＝∠HFB＝45°，

∴FH平分∠BFE，故（4）符合题意，

故选：B．