题目内容

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）．图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③当x≤1时，y随x值的增大而增大；④当-1≤x≤3时，ax²+bx+c＜0；⑤只有当a= $数学公式$ 时，△ABD是等腰直角三角形．那么，其中正确的结论是________．（只填你认为正确结论的序号）

①⑤
分析：根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ =1可判断①正确；根据图象得x=1对应的函数值为负数，可判断以②错误；
根据抛物线当a＞0，在对称轴左侧，y随x的增大而减小可判断以③错误；利用x=-1或x=3时，ax²+bx+c=0，可判断④错误；
解答：

解：∵二次函数的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3，
∴AB中点坐标为（1，0），而点A与点B是抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=- $\text{[math]}$ =1，即2a+b=0，所以①正确；
∵当x=1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴a+b+c＜0，所以②错误；
∵a＞0，
∴当x≤1时，y随x值的增大而减，所以③错误；
由于当-1＜x＜3时，ax²+bx+c＜0，而x=-1或x=3时，ax²+bx+c=0，所以④错误；
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，对称轴x=1交x轴与E点，如图，
当△ABD是等腰直角三角形，则DE= $\text{[math]}$ AB，即| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ×4，
∴a= $\text{[math]}$ ，所以⑤正确．
故答案为①⑤．
点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：a＞0，开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ ；抛物线的顶点坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．也考查了抛物线的交点式以及等腰直角三角形的性质．