Question

(2006辽宁沈阳课改，25)如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE．(不需要证明)

图①

(1)如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF．则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)

图②

(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CP的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

图③

(3)如图④，在(2)的基础上，连接AE和EF，A若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．

图④

Answer 1

答案：略
解析：

(1)成立 (2)成立 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=CD． 又∵EC=DF∴ΔADF≌ΔDCE，∴∠E=∠F，AF=DE． 又∵∠E＋∠CDE=90°，∴∠F＋∠CDE=90°，∴∠FGD=90°，∴AF⊥DE． (3)正方形 证明：∵AM=ME，AQ=DQ ∴MQ∥ED，，同理NP∥ED，，∴MQNP． ∴四边形MNPQ是平行四边形，又∵ME=MA，NE=NF，∴MN∥AF，． 又∵AF=ED，∴MQ=MN． ∴平行四边形MNPQ是菱形． ∵AF⊥ED，MQ∥ED，∴AF⊥MQ．又∵MN∥AF，∴MN⊥MQ． ∴ΔQMN=90°，∴菱形MNPQ是正方形．