题目内容

如图①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB上一点，过E作直线l∥BC，交直线CD于点F．将直线l向右平移，设平移距离BE为t（t≥0），直角梯形ABCD被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为S，S关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
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（1）梯形上底的长AB=
 
；
（2）直角梯形ABCD的面积=
 
；
图象理解
（3）写出图②中射线NQ表示的实际意义；
（4）当2＜t＜4时，求S关于t的函数关系式；
问题解决
（5）当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3．
分析：（1）根据图②可知，当0≤t≤2时，E在线段AB上运动（包括与A、B重合），在此期间E点运动了2，因此可求得AB的长为2．
（2）根据图形可知：当2＜t＜4时，E在AB的延长线上，且F在D点左侧，此期间E点运动了2，因此下底长为2+2=4，根据t=2时，重合部分的面积为8可求出梯形的高为4，因此梯形的面积为
1
2
×（2+4）×4=12．
（3）当t＞4时，直线l与梯形没有交点，因此扫过的面积恒为梯形的面积12．
（4）当2＜t＜4时，直线扫过梯形的部分是个五边形，如果设直线l与AD的交点为0，那么重合部分的面积可用梯形的面积减去三角形OFD的面积来求得．梯形的面积在（2）中已经求得．三角形OFD中，底边DF=4-t，而DF上的高，可用DF的长和∠BCD的正切值求出，由此可得出S，t的函数关系式．
（5）本题要分情况讨论：
①当0＜t＜2时，重合部分的平行四边形的面积：直角梯形AEFD的面积=1：3，据此可求出t的值．
②当2＜t＜4时，重合部分的五边形的面积：三角形OFD的面积=3：1，由此可求出t的值．
解答：解：由题意得：
（1）AB=2．

（2）S梯形ABCD=12．

（3）当平移距离BE大于等于4时，直角梯形ABCD被直线l扫过的面积恒为12．精英家教网

（4）当2＜t＜4时，如图所示，
直角梯形ABCD被直线l扫过的面积S=S直角梯形ABCD-SRt△DOF
=12-
1
2
（4-t）×2（4-t）=-t2+8t-4．

（5）①当0＜t＜2时，有4t：（12-4t）=1：3，解得t=
3
4
．
②当2＜t＜4时，有（-t2+8t-4）：[12-（-t2+8t-4）]=3：1，
即t2-8t+13=0，
解得t=4-
3
，t=4+
3
 （舍去）．
答：当t=
3
4
 或t=4-
3
时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3．
点评：本题是运动型问题，考查了直角梯形和平行四边形的性质、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识．
练习册系列答案
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1
2
AB，其中正确结论的个数有（　　）
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．
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