Question

在△ABC中，AC=2，AB=3，BC=4，点D在BC边上，且CD=1
（1）求AD的长；
（2）点E是AB边上的动点（不与A、B重合）连接ED，作射线DF交AC边于点F，使∠EDF=∠BDA．请补全图形，说明线段BE与AF的比值是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用两边对应成比例且夹角相等得出△ADC∽△BAC，即可求出AD的长；
（2）利用已知得出∠BDE=∠ADF以及∠B=∠DAF，即可求出△BDE∽△ADF，进而利用对应边关系得出BE与AF的比值．

解答：（1）解：在△ADC和△BAC中，
∵∠C=∠C，

AC

BC

=

CD

AC

=

1

2

，
∴△ADC∽△BAC，
∴

AD

AB

=

1

2

，
∵AB=3，
∴AD=1.5；

（2）如图所示：线段BE与AF的比值为定值2，
证明：∵∠EDF=∠BDA，
∴∠BDE=∠ADF，
∵△ADC∽△BAC，
∴∠B=∠DAF，
∴△BDE∽△ADF，
∴

DB

AD

=

BE

AF

，
∵BC=4，CD=1，AD=1.5，
∴

DB

AD

=

BE

AF

=

3

1.5

=2．
∴线段BE与AF的比值为定值2．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质得出是解题关键．