Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．
（1）求证：∠ABD=∠CBD；
（2）若∠C=2∠E，求证：AB=DC；
（3）在（2）的条件下，sinC=，AD=，求四边形AEBD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD
∴∠ABD=∠CBD；

（2）证明：∵AE∥DB
∴∠E=∠CBD
由（1）得∠ABD=∠CBD
∴∠ABC=2∠CBD=2∠E
又∵∠C=2∠E
∴∠ABC=∠C
∴在梯形ABCD中，AB=DC；

（3）解：过D作DF⊥BC，垂足为F，由sinC=，得=
由（2）得CD=AB，又∵AB=AD=，
∴CD=，DF=
∵AD∥BC，AE∥DB
∴四边形AEBD是平行四边形
∴S_{四边形AEBD}=AD•DF=×=．
分析：（1）由两直线AD∥BC，推知内错角∠ADB=∠CBD；在△BAD中，根据等边AB=AD，推知等角∠ADB=∠ABD；所以由等量代换证得∠ABD=∠CBD；
（2）由两直线AE∥DB，推知同位角∠E=∠CBD；利用（1）的结果、等量代换求得∠ABC=2∠CBD=2∠E；根据已知条件知∠ABC=∠C，最后根据等腰梯形的性质知AB=DC；
（3）过D作DF⊥BC，垂足为F，构造四边形AEBD的高．在直角三角形CDF中，利用角的三角函数值的意义求得=；利用（2）的结论以及勾股定理求得CD=，DF=；最后根据平行四边形的判定定理知四边形AEBD是平行四边形，再由平行四边形的面积公式：S=底×高，求得S_{四边形AEBD}=AD•DF=．
点评：本题考查了梯形、解直角三角形．解答该题时，充分利用了平行线的性质：两直线平行，内错角（同位角）相等．