Question

如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD∥OC交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=60°，求BC：CD的值．

Answer 1

分析：（1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明；
（2）连接OB，根据已知的角，结合圆周角定理发现等腰直角三角形AOC和等腰三角形OBE和30度的直角三角形AOE；在根据它们的性质得到BE和AE之间的关系，再根据平行线分线段成比例定理进行求解．

解答：（1）证明：连接OA；（1分）
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA⊥OC；（3分）
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．（5分）

（2）解：连接OB；
在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB的外角∠ACD=60°；（6分）
∴∠CAB=60°-45°=15°，
∵△OAC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°，
∴∠BAO=∠CAO-∠CAB=30°；（8分）
∵在Rt△AOE中，∠EAO=∠BAO=30°，
∴OE=

1

2

AE；
∵在△AOB中，OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=30°，∠AOB=120°，
∴∠EOB=∠AOB-∠AOC=120°-90°=∠EBO，（10分）
∴BE=OE，
∴BE=

1

2

AE，
即BE：EA=1：2；
又∵EC∥AD，
∴BC：CD=BE：EA=1：2．（12分）

点评：掌握切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解．