题目内容
ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点．AF交ED于G，EC交FB于H．连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M．求证：DL=BM．分析：设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I．在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理，再根据平行线分线段成比例定理即可得出CI=AJ．而
=
=
=
，且BM+MC=BC=AD=AL+LD，进而可得出结论．
| BM |
| MC |
| BJ |
| CI |
| DI |
| AJ |
| DL |
| LA |
解答：
证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I．
在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理，
得
•
•
=1，
•
•
=1，
∵AB∥CD，
∴
=
，
=
．
从而
=
，即
=
，
∴CI=AJ．而
=
=
=
，且BM+MC=BC=AD=AL+LD．
∴BM=DL．
证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I．在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理，
得
| EG |
| GD |
| DI |
| IC |
| CH |
| HE |
| AG |
| GF |
| FH |
| HB |
| BJ |
| JA |
∵AB∥CD，
∴
| EG |
| GD |
| AG |
| GF |
| CH |
| HE |
| FH |
| HB |
从而
| DI |
| IC |
| BJ |
| JA |
| CD+CI |
| CI |
| AB+AJ |
| AJ |
∴CI=AJ．而
| BM |
| MC |
| BJ |
| CI |
| DI |
| AJ |
| DL |
| LA |
∴BM=DL．
点评：本题考查的是梅涅劳斯定理与赛瓦定理，解答此题的关键是熟知梅涅劳斯定理与赛瓦定理及平行线分线段成比例定理的相关知识．
练习册系列答案
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如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P1、P2、O、P3、P4是线段AC上的点，且AP1=P1P2=P2O=OP3=P3P4，点Q1、Q2、Q3、Q、Q4、Q5、Q6是线段BD上的点，且BQ1=Q1Q2=Q2Q3=Q3O=OQ4=Q4Q5=Q5Q6=Q6D．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P1、P2、O、P3、P4是线段AC上的点，且AP1=P1P2=P2O=OP3=P3P4，点Q1、Q2、Q3、Q、Q4、Q5、Q6是线段BD上的点，且BQ1=Q1Q2=Q2Q3=Q3O=OQ4=Q4Q5=Q5Q6=Q6D．