Question

在平面直角坐标系xOy中，点、分别在轴、轴的正半轴上，且，点为线段的中点．
（1）如图1，线段的长度为________________；

（2）如图2，以为斜边作等腰直角三角形，当点在第一象限时，求直线所对应的函数的解析式；

（3）如图3，设点、分别在轴、轴的负半轴上，且，以为边在第三象限内作正方形，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式．

图2

 

Answer 1

（1）5 （2）直线OC所对应的函数解析式为（3）线段MG取最大值10+．
此时直线MG的解析式

试题分析：（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得线段的长度为5.
以为斜边作等腰直角三角形，当点在第一象限时,过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．
所以∠CQB=∠CPA=90°，又有∠QOP=90°，∠QCP=90°．∠BCA=90°，∠BCQ=∠ACP．BC=AC，
可证得△BCQ≌△ACP．从而得CQ=CP．不妨设C点的坐标为(a，a)(其中)．
设直线OC所对应的函数解析式为，，解得k=1，所以直线OC所对应的函数解析式为（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM.因为∠AOB=90°，所以OM=．同理得ON=5．
在正方形DGFE，N为DE中点，DE=10，由勾股定理得NG=．在点M与G之间总有MO+ON+NG由于∠DNG的大小为定值，只要,且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线,此时等号成立.这时线段MG取最大值10+．
此时直线MG的解析式
试题解析：（1）5
（2）如图1,过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．
∴∠CQB=∠CPA=90°，

∵∠QOP=90°，
∴∠QCP=90°．
∵∠BCA=90°，
∴∠BCQ=∠ACP．
∵BC=AC，
∴△BCQ≌△ACP．
∴CQ=CP．
∵点在第一象限,
∴不妨设C点的坐标为(a，a)(其中)．
设直线OC所对应的函数解析式为，
∴，解得k=1，
∴直线OC所对应的函数解析式为．           4分
（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM.
∵∠AOB=90°，
∴OM=．
同理ON=5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE=10，
∴NG=．
在点M与G之间总有MO+ON+NG(如图2)，
由于∠DNG的大小为定值，只要,且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线,此时等号成立（如图3）.
∴线段MG取最大值10+．
此时直线MG的解析式