Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°.

(1) 利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)

(2) 在 (1) 所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.

Answer 1

【答案】见解析；.

【解析】

试题根据角平分线的做法作出图形；连接OD，首先设圆的半径为r，根据∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC得出△ABE和△DCE相似，根据Rt△ABC中∠ACB=30°得出AB=r，根据角平分线得出∠DBC=45°，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出∠DOC=90°，结合OD=OC得出△ODC为等腰直角三角形，则CD=r，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出答案.

试题解析：（1）如图所示：

（2）连接OD，设圆的半径为r 在△ABE和△DCE中，∠BAE=∠CDE ∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DCE

在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30° ∴AB=AC=r

∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC=45° ∴∠DOC=2∠DBC=2×45°=90°

∵OD=OC=r ∴△ODC为等腰直角三角形 ∴CD==r

∴