Question

【题目】如图1，以为直径作半圆，点在半圆上，连结，，且.连结，是边上的高，过点作交的延长线于点，交于点.

（1）求证：.

（2）当为的中点时，求的值.

（3）如图2，取的中点，连结.

①若，在点运动过程中，当四边形的其中一边长是的2倍时，求所有满足条件的长.

②连结，当的面积是的面积的3倍时，求的值（请直接写出答案）.

图1图2

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）①当或时，四边形其中一边长为的2倍；②

【解析】

（1）先证明 再证明，从而可得结论；

（2）先证明是等边三角形，再证明，利用锐角三角函数可得结论；（3）①分情况讨论：i当，ii当，iii当，结合图形性质可得结论；②当的面积是的面积的3倍时，得到 设则 结合图形的性质用含的代数式表示 利用正切的定义可得答案．

解：（1）∵，

∴.

∵为的直径，

∴，且，

∴.

∴.

∴.

（2）∵为边上的高，且，

∴.

∴.

∴.

又∵为中点，且，

∴.

∴是等边三角形，

∴.

∵．

，

∴

（3）①i当，由题意得：

设为，则

∴

由，得

∴.

由

得.

∴

ii当

设为，则.

由得，

，化简，

，（舍）

∴

iii当

由于，且

∴不存在

综上所述，当或时，四边形其中一边长为的2倍.

②如图，当的面积是的面积的3倍时，

设则

为的中点，

设 则

解得： 或舍去，

同理可得：