题目内容

如图，四边形ABCD是梯形，sin∠OAD=tan∠OBC= $数学公式$ ，PC是抛物线的对称轴，且P（3，-3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）求直线AD的函数表达式；
（4）PD与AD垂直吗？

解：（1）根据图象可得出抛物线经过点O（0，0）和顶点坐标为P（3，-3），
故可得出解析式为：y=a（x-3）²-3，
将（0，0）代入得出：a= $\text{[math]}$ ，
故抛物线解析式为：y= $\text{[math]}$ （x-3）²-3= $\text{[math]}$ x²-2x；

（2）∵PC是抛物线的对称轴，且P（3，-3），
∴BM=3，
∵tan∠OBC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CM=2，
∴点D的纵坐标为2．
$\text{[math]}$ ，
解得x₁=3+ $\text{[math]}$ （不合题意舍去），x₂=3- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（3）过点D作DN⊥x轴于点N，
∵DN=2，sin∠OAD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AD=3，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴A点坐标为：（3- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，0），
把A，D的坐标代入y=kx+b，得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
即y= $\text{[math]}$ x+2+2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；

（4）∵CD=NO+OM= $\text{[math]}$ -3+3= $\text{[math]}$ ，CP=CM+PM=3+2=5，
∵tan∠DPC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
tan∠DAN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴∠CPD≠∠DAN，
∵∠CPD=NDP，
∴∠PDN≠∠DAN，
∵∠DAN+∠ADN=90°，
∴∠ADN+∠NDP≠90°，
∴PD与AD不垂直．
分析：（1）根据图象上点的坐标利用顶点式求出即可；
（2）根据抛物线的对称性得出BM=3，再利用tan∠OBC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可得出CM的长，再利用D点在抛物线上，进而得出D点坐标即可；
（3）根据AN，NO的长度得出A点坐标，再利用A，D两点坐标得出直线解析式即可；
（4）利用tan∠DPC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，tan∠DAN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得出∠CPD≠∠DAN，进而求出∠ADN+∠NDP≠90°得出答案即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及锐角三角函数的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，根据锐角三角函数关系得出D点坐标是解题关键．