题目内容
如图1，以△ABC边AB和AC为边作等边△ABD和△ACE，连接DC，BE，（1）判断BE与DC的数量关系，并求BE与DC的夹角∠EFC的度数；
（2）继续探索，如图2，以△ABC的AB和AC为边作正方形ABEF和ACGH，连接FC、BH，判断FC和BH的数量关系，并求出此时FC与BH的夹角；
（3）如图3中M、N分别是BC、FH的中点，P、Q分别是正方形的中心，顺次连接MPNQ，判断四边形MPNQ的形状并证明．
【答案】分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，再求出∠BAE=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DC，全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACD，然后∠FEC+∠FCE=120°，再根据三角形内角和定理计算即可得解；
（2）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABH和△AFC全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=FC，全等三角形对应角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，设BH、CF相交于点G，再根据四边形的内角和定理计算即可求出∠BGF=90°，根据垂线的定义即可得证；
（3）根据正方形的对角线互相平分可得点P、Q分别是BF、CH的中点，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PN∥BH，PN=
BH，MQ∥BH，MQ=
BH，NQ∥CF，NQ=
CF，PM∥CF，PM=
CF，再根据（2）的结论可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，从而判定四边形MPNQ是菱形，再根据BH⊥CF求出PN⊥NQ，根据有一个角是直角的菱形是正方形证明．
解答：解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD，
∴∠FEC+∠FCE=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°，
∴∠EFC=180°-（∠FEC+∠FCE）=180°-120°=60°；
故BE=DC，∠EFC的度数为60°；
（2）在正方形ABEF和ACGH中，AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAH+∠BAC，
即∠BAH=∠CAF，
在△ABH和△AFC中，
，
∴△ABH≌△AFC（SAS），
∴BH=FC，∠AFC=∠ABH，
∴∠EFC+∠EBH=∠EFA+∠EBA=90°+90°=180°，
设BH、CF相交于点G，
则∠EGF=360°-180°-90°=90°，
∴BH⊥FC，
故BE=DC且BH与FC的夹角为90°；
（3）四边形MPNQ为正方形．理由如下：
∵P、Q分别是正方形的中心，
∴P、Q分别是BF、CH的中点，
∵M、N分别是BC、FH的中点，
∴PN∥BH，PN=
BH，MQ∥BH，MQ=
BH，NQ∥CF，NQ=
CF，PM∥CF，PM=
CF，
根据（2）的结论，BH=CF，BH⊥CF，
∴MP=PN=NQ=MQ，
∴四边形MPNQ是菱形，
∵BH⊥CF，PN∥BH，NQ∥CF，
∴PN⊥NQ，
∴菱形MPNQ是正方形，
故四边形MPNQ为正方形．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，准确识图并熟记各性质是解题的关键，此类题目最大的特点是各小题所用的思路都相同．
（2）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABH和△AFC全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=FC，全等三角形对应角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，设BH、CF相交于点G，再根据四边形的内角和定理计算即可求出∠BGF=90°，根据垂线的定义即可得证；
（3）根据正方形的对角线互相平分可得点P、Q分别是BF、CH的中点，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PN∥BH，PN=
BH，MQ∥BH，MQ=
BH，NQ∥CF，NQ=
CF，PM∥CF，PM=
CF，再根据（2）的结论可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，从而判定四边形MPNQ是菱形，再根据BH⊥CF求出PN⊥NQ，根据有一个角是直角的菱形是正方形证明．解答：解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
，∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD，
∴∠FEC+∠FCE=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°，
∴∠EFC=180°-（∠FEC+∠FCE）=180°-120°=60°；
故BE=DC，∠EFC的度数为60°；
（2）在正方形ABEF和ACGH中，AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAH+∠BAC，
即∠BAH=∠CAF，
在△ABH和△AFC中，
，∴△ABH≌△AFC（SAS），
∴BH=FC，∠AFC=∠ABH，
∴∠EFC+∠EBH=∠EFA+∠EBA=90°+90°=180°，
设BH、CF相交于点G，
则∠EGF=360°-180°-90°=90°，
∴BH⊥FC，
故BE=DC且BH与FC的夹角为90°；
（3）四边形MPNQ为正方形．理由如下：
∵P、Q分别是正方形的中心，
∴P、Q分别是BF、CH的中点，
∵M、N分别是BC、FH的中点，
∴PN∥BH，PN=
BH，MQ∥BH，MQ=
BH，NQ∥CF，NQ=
CF，PM∥CF，PM=
CF，根据（2）的结论，BH=CF，BH⊥CF，
∴MP=PN=NQ=MQ，
∴四边形MPNQ是菱形，
∵BH⊥CF，PN∥BH，NQ∥CF，
∴PN⊥NQ，
∴菱形MPNQ是正方形，
故四边形MPNQ为正方形．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，准确识图并熟记各性质是解题的关键，此类题目最大的特点是各小题所用的思路都相同．
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