Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E．

(1)若∠ADC+∠ABC=180°，求证：AD+AB =2AE；

(2)若AD+AB =2AE，求证：CD=CB.

 

Answer 1

【答案】

(1)可求证∠ADC=∠CBM．因此，△ADC≌△MBC，AD=BM.故AM=2AE=AB+ BM=AB+AD.

（2）可求证△ADC≌△MBC.所以，CD=CB

【解析】

试题分析：(1)如图．延长AB到点M，使AE=ME．又CE⊥AB，

故△ACM为等腰三角形．因此，AC=CM，∠l=∠3．

已知∠1 =∠2，所以，∠3=∠L2.又∠ADC+∠ABC=180°，

于是，∠ADC=∠CBM．因此，△ADC≌△MBC，AD=BM.

故AM=2AE=AB+ BM=AB+AD.

(2)如图，延长AB到点M，使BM=AD.由2AE=AB+AD=AB+BM=AM,故AE=ME.

∵CE⊥AM,同（1）得AC=MC，∠2=∠3. ∵BM=AD,∴△ADC≌△MBC.从而，CD=CB.

考点：等腰三角形及全等三角形

点评：本题难度中等，主要考查学生对等腰梯形及全等三角形性质知识点的掌握与综合运用能力，为中考常考题型，要求学生牢固掌握解题技巧。