题目内容

（1）如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，且∠ADC=∠ACB，∠CAB的平分线交CD于点E，交CB于点F，写出线段CE与CF满足的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，将上题中的“∠ACB=90°”变为“∠ACB=60°”，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？直接回答即可，不必证明；
（3）如图③，△ABC中，改变∠ACB的大小，使点D运动到AB的延长线上，且∠ACB=∠ADC，其余条件不变．在DC上截取DM=CE，过点M作MN∥EA，交AB于点N，猜想：线段MN与AF有怎样的数量关系？证明你的结论．

证明：（1）CE=CF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CFE+∠CAF=90°，
∠DEA+∠BAF=90°，
∴∠CFE=∠DEA，
∵∠DEA=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF．

（2）成立，
理由是：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∵∠ADC=∠ACB=60°，
∴∠CFE+∠CAF=120°，
∠DEA+∠BAF=120°，
∴∠CFE=∠DEA，
∵∠DEA=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF．

（3）MN=AF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠CFE=∠ACB+∠CAE，
∠CEF=∠ADC+∠BAE，
∠ADC=∠ACB，
∴∠CFE=∠CEA，
∴CE=CF，
∵DM=CE，
∴DM=CF，
∵MN∥EA，
∴∠DNM=∠BAE=∠CAE，
在△DNM和△CAF中，
$\text{[math]}$ ，
∴△DNM≌△CAF（AAS），
∴MN=AF．
分析：（1）求出∠CFE+∠CAF=90°，∠DEA+∠BAF=90°，推出∠CFE=∠DEA，推出∠CFA=∠CEF，根据等腰三角形判定推出即可；
（2）求出∠CFE+∠CAF=120°，∠DEA+∠BAF=120°，推出∠CFE=∠DEA，推出∠CFA=∠CEF，根据等腰三角形判定推出即可；
（3）求出DM=CF=CE，求出∠DNM=∠FAC，根据AAS证△DNM和△FAC全等即可．
点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．