Question

（2013•泉州质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，点P从点C出发沿射线CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：AB=

5

5

cm；
（2）若0＜t＜5，试问：t为何值时，△PCQ与△ACB相似；
（3）若∠ACB的平分线CE交△PCQ的外接圆于点E．试探求：在整个运动过程中，PC、QC、EC三者存在的数量关系式，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求出即可；
（2）要使△PCQ与△ACB相似，必须有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．当∠PQC=∠A时，△PCQ∽△BCA，得出

CQ

CA

=

PC

BC

，代入求出即可；当∠PQC=∠B时，△PCQ∽△ACB，得出

CQ

CB

=

PC

AC

，代入求出即可；
（3）分为两种情况：画出图形，当0＜t＜5时，过点E作HE⊥CE交AC于H，求出∠HEP=∠CEQ，∠QCE=∠PCE=45°，PE=QE，证△QCE≌△PHE，推出QC=PH，根据勾股定理求出即可；当t≥5时，过点E作ME⊥CE交AC于M，同法可证△QCE≌△PME，根据勾股定理求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=5cm，由勾股定理得：AB=

102+52

=5

5

（cm）
故答案为：5

5

；

（2）如图1，由题意可知：PC=2t，QB=t，QC=5-t．
∵∠PCQ=∠ACB，
∴要使△PCQ与△ACB相似，必须有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．
当∠PQC=∠A时，△PCQ∽△BCA，
由

CQ

CA

=

PC

BC

可得

5-t

10

=

2t

5

，
解得：t=1，
当∠PQC=∠B时，△PCQ∽△ACB，
由

CQ

CB

=

PC

AC

可得

5-t

5

=

2t

10

，
解得t=

5

2

，
∴当t=1或

5

2

秒时，△PCQ与△ACB相似； 

（3）当0＜t＜5时，如图2，
过点E作HE⊥CE交AC于H，则∠HEP+∠PEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PQ为△PCQ的外接圆的直径，
∴∠QEP=90°，即∠QEC+∠PEC=90°，
∴∠HEP=∠CEQ，
又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°，
∴∠QCE=∠PCE=45°，
∴

PE

=

QE

，
∴PE=QE，
∴∠QCE=∠PHE=45°，
∵在△QCE和△PHE中

∠PEH=∠CEQ ∠PHE=∠ECQ PE=EQ

∴△QCE≌△PHE（AAS）
∴QC=PH，
在Rt△HEC中，EC²+EH²=HC²，EC=EH，
即2EC²=（CP+CQ）²
∴CP+CQ=

2

EC；
当t≥5时，如图3，
过点E作ME⊥CE交AC于M，同法可证△QCE≌△PME，
∴CP-CQ=

2

EC，
综上所述，当0＜t＜5时，CP+CQ=

2

EC；当t≥5时，CP-CQ=

2

EC．

点评：本题考查了等腰直角三角形，三角形的外接圆，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．