Question

已知等腰Rt△ABC，AC=BC=2，D为射线CB上一动点，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交直线AC于点E．
（1）如图1，当点D在斜边AB上时，求⊙O的半径；
（2）如图2，点D在线段BC上，使四边形AODE为菱形时，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，设圆O的半径长为a，求出AB，求出∠B=∠BOD=45°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）得出等边三角形AOE和EOD，求出∠EDC=30°，根据DE=4-2

2

求出CE，解直角三角形求出即可．

解答：（1）解：连接OD，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90°，
设圆O的半径长为a，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴OD∥AC，AB=

22+22

=2

2

，∠B=∠CAB=45°
∴OB=2

2

-a，∠DOB=∠B=45°
∴2a²=（2√2-a）²
 解得：a₁=4-2

2

，a₂=-2

2

-4，
∵a＞0，
∴a=4-2

2

即⊙O半径长为4-2

2

．

（2）解：连EO，
∵四边形OAED为菱形，
∴AE=AO，
∵AO=EO，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AEO=60°
同理△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∵∠ODC=90°，
∴∠EDC=30°，
∵∠C=90°，
∴ED=2EC，
∵ED=4-2

2

，
∴CE=2-

2

，
∴CD=

3

CE=2

3

-

6

．

点评：本题考查了解直角三角形，切线的性质，等腰直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．