Question

4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明DE是⊙O的切线；
（2）若OA=$\sqrt{3}$，CE=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AE，OE，∠AEB=90°，∠BAC=90°，在Rt△ACE中，D为AC的中点，则DE=AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，得出∠DEA=∠DAE，由OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，则∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，即可得出结论；
（2）AB=2AO=2$\sqrt{3}$，由△BCA∽△BAE，得出$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB}{BE}$，求出BE=3，BC=4，由勾股定理得AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC代入即可得出结果．

解答 （1）证明：连接AE，OE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△ACE中，D为AC的中点，
∴DE=AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠DEA=∠DAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，
∴OE⊥DE，
∵OE为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AO=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AO=2$\sqrt{3}$，
∵∠CAB=∠AEB=90°，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAE，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB}{BE}$，即AB²=BE•BC=BE（BE+EC），
∴（2$\sqrt{3}$）²=BE²+BE，
解得：BE=3或BE=-4（不合题意，舍去），
∴BE=3，
∴BC=BE+CE=3+1=4，
∴在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．