Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．

（1）求证：四边形BDFG为菱形；

（2）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）20．

【解析】

（1）由BD=FG，BD//FG可得四边形BDFG是平行四边形，根据CE⊥BD可得∠CFA＝∠CED＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=DF=AC，即可证得结论；

（2）设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，利用勾股定理列方程可求出x的值，进而可得答案．

（1）∵AG∥BD，BD＝FG，

∴四边形BGFD是平行四边形，

∵CF⊥BD，BD//AG，

∴∠CFA＝∠CED＝90°，

∵点D是AC中点，

∴DF＝AC，

∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，

∴BD＝AC，

∴BD＝DF，

∴平行四边形BGFD是菱形．

（2）设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，

∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，

解得：x＝5，x＝﹣（舍去），

∵四边形BDFG是菱形，

∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．