题目内容
在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（ ）
| A、3 | ||
| B、0 | ||
| C、4 | ||
D、5
|
分析：当以AB为弦的圆C与x轴相切时，∠APB最大．设点C（x，y），根据切线的性质及同圆的半径相等，列出方程组即可求解．
解答：
解：如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．
在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．
故此时∠APB最大．
连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．
∵CP=CA=CB，
∴y2=x2+（y-4）2=（x-3）2+（y-8）2，
由y2=x2+（y-4）2，得8y=x2+16 ①，
由y2=（x-3）2+（y-8）2，得x2-6x+73-16y=0 ②，
①代入②，整理得x2+6x-41=0，
解得x1=5
-3，x2=-5
-3（不合题意舍去）．
故选D．
解：如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．
故此时∠APB最大．
连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．
∵CP=CA=CB，
∴y2=x2+（y-4）2=（x-3）2+（y-8）2，
由y2=x2+（y-4）2，得8y=x2+16 ①，
由y2=（x-3）2+（y-8）2，得x2-6x+73-16y=0 ②，
①代入②，整理得x2+6x-41=0，
解得x1=5
| 2 |
| 2 |
故选D．
点评：本题主要考查了圆周角定理，切线的性质及两点间的距离公式，有一定难度．作出符合要求的圆C是解题的关键．
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