Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　        　；

（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．

（3）连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，

∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．

∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．

（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，

∵OC∥AD，

∴∠ADO=∠COD=90°，

∴∠DOA+∠DAO=90°

而∠DOA+∠COF=90°，

∴∠COF=∠DAO，

∴Rt△OCF∽Rt△AOD，

∴=，即=，解得CF=，

在Rt△OCF中，OF==，

∴C点坐标为（﹣，）；

②直线BC是⊙O的切线．理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，OF=，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

∵在△BOC和△AOD中

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADC=90°，

∴OC⊥BC，

∴直线BC为⊙O的切线．