Question

8．如图，在ABCD中⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，求证：O是△ABC的内心．

Answer 1

分析 过点O作OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，垂足分别为M、N、G，连接OD，OE，OF，由全等三角形的性质可得出△ODM≌△OEN≌△OFG，故可得出OM=ON=OG，故可得出结论．

解答 证明：过点O作OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，垂足分别为M、N、G，连接OD，OE，OF，
∵⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，
∴MD=NE=GF，
在Rt△ODM与Rt△OEN中，
$\left\{\begin{array}{l}OD=OE\\ MD=NE\end{array}\right.$，
∴Rt△ODM≌Rt△OEN（HL），
∴MD=NE．
同理可得，△OEN≌△OFG，
∴MD=NE=GF，
∴O是△ABC的内心．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的内心到三角形三边的距离相等是解答此题的关键．