Question

【题目】(1)如图1所示，在中，，，点在斜边上，点在直角边上，若，求证：.

(2)如图2所示，在矩形中，，，点在上，连接，过点作交(或的延长线)于点.

①若，求的长；

②若点恰好与点重合，请在备用图上画出图形，并求的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①；②图形见解析；的长为或.

【解析】

（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明即可证得结论；

（2）①仿（1）题证明，再利用相似三角形的性质即可求得结果；

②由①得，设，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求得结果.

解：(1)∵在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.

(2)①∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，；

②如图所示，设，由①得，

∴，即，

整理，得：，

解得：，，

所以的长为或.