Question

观察下列方程及其解的特征：
（1）x+

1

x

=2的解为x₁=x₂=1；
（2）x+

1

x

=

5

2

的解为x₁=2，x₂=

1

2

；
（3）x+

1

x

=

10

3

的解为x₁=3，x₂=

1

3

；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+

1

x

=

26

5

的解为

 

；
（2）请猜想：关于x的方程x+

1

x

=

 

的解为x₁=a，x₂=

1

a

（a≠0）；
（3）下面以解方程x+

1

x

=

26

5

为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为5x²-26x=-5．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）

Answer 1

分析：解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．

解答：解：（1）x₁=5，x2=

1

5

；
（2）

a2+1

a

（或a+

1

a

）；
（3）方程二次项系数化为1，
得x2-

26

5

x=-1．
配方得，
x2-

26

5

x+(-

13

5

)2=-1+(-

13

5

)2，即(x-

13

5

)2=

144

25

，
开方得，
x-

13

5

=±

12

5

，
解得x₁=5，x2=

1

5

．
经检验，x₁=5，x2=

1

5

都是原方程的解．

点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．