Question

如图，D、E分别是等边△ABC两边的中点，连接BE、DE，下列结论：
①△ADE是等边三角形；②△BEC是直角三角形；③△BDE是等腰三角形；④BC=2DE．其中正确的个数有

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

A
分析：根据等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C，根据三角形的中位线定理推出DE∥BC，根据平行线的性质推出∠ADE=∠AED=∠A，即可判断①；根据等腰三角形的性质得出②正确；根据等腰三角形的性质推出∠ABE=∠CBE，根据平行线的性质推出∠DEB=∠ABE，即可判断③；根据三角形的中位线定理即可判断④．
解答：∵D、E分别是等边△ABC两边的中点，
∴∠A=∠ABC=∠C，DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED=∠A，
∴AD=AE=DE，
∴①正确；
∵E是等边△ABC边AC的中点，
∴AB=BC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴②正确；
∵E是等边三角形ABC的中点，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠DEB=∠ABE，
∴BD=DE，
∴③正确；
∵D、E分别是等边△ABC两边的中点，
∴BC=2DE，∴④正确；
∴正确的个数有4个．
故选A．
点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键．