Question

D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN，
求证：（1）∠MDN=60°；
（2）作出△DMN的高DH，并证明DH=BD．

Answer 1

分析：（1）延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据等腰三角形的性质以及等边三角形的性质可以得到△BDM和△CDE都是直角三角形，易证这两个三角形全等，根据全等三角形的性质即可证得；
（2）根据△MDN≌△EDN可以证得∠MND=∠DNE，然后根据角平分线的性质即可证得．

解答：证明：（1）延长NC到E，使CE=BM，连接DE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在直角△BDM和直角△CDE中，

BD=CD ∠ABD=∠DCE=90° BM=CE

，
∴Rt△BDM≌Rt△CDE（SAS），
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE，
∴∠MDE=∠BDC=120°，
∵BM+CN=MN，
∴MN=ME，
在△MDN和△EDN中，

DM=DE DN=DN NM=NE

，
∴△MDN≌△EDN（SSS），
∴∠MDN=∠EDN=60°；

（2）∵△MDN≌△EDN，
∴∠MND=∠DNE，
又∵DH⊥MN，DC⊥AC，
∴DH=DC，
∵BD=DC，
∴DH=BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，正确作出辅助线，把BM+CN=MN转化成两条线段相等，构造全等的三角形是关键．