题目内容
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．
【答案】分析：（1）过点P，作PD⊥BC于D，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）分PC=QC和PC=QC两种情况进行讨论，求解；
（3）PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解．
解答：
解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t
（1）①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=
AB=3米，∴S=
•QC•PD=3.75平方米；
②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴
=
，
解得：QE=
，
∴S=
•PC•QE=
•（10-2t）•
=-
+3t（0＜t≤5）
（2）当t=
秒（此时PC=QC），
秒（此时PQ=QC），或
秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形；
∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC=
=
=10，
当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=
秒；
当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=
，CQ=t，可证△CEQ∽△CBA，故
=
，即
=
，解得t=
秒；
当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=
，PC=10-2t，可证△PCE∽△ACB，故
=
，即
=
，解得t=
秒．
（3）如图3，过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽△ACB
∴
=
=
，即
=
=
∴PF=6-
，FC=8-
则在直角△PFQ中，PQ2=PF2+FQ2=（6-
）2+（8-
-t）2=
t2-56t+100
如图4，当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ2=
t2-56t+100=9t2，
整理得：t2+70t-125=0
解得：t1=15
-35，t2=-15
-35＜0（舍去）
故当⊙P与⊙Q外切时，t=（15
-35）秒；
当⊙P与⊙Q内切时，PQ=PA-QC=t，此时，
∵PQ2=PF2+FQ2，
∴PQ2=
t2-56t+100=t2
整理得：9t2-70t+125=0，解得：t1=
，t2=5
故当⊙P与⊙Q内切时，t=
秒或5秒．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及圆和圆的位置关系，正确把图形之间的位置关系转化为线段之间的相等关系是解题的关键．
（2）分PC=QC和PC=QC两种情况进行讨论，求解；
（3）PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解．
解答：
解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t
（1）①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=
AB=3米，∴S=
•QC•PD=3.75平方米；②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴
=
，解得：QE=
，∴S=
•PC•QE=
•（10-2t）•
=-
+3t（0＜t≤5）（2）当t=
秒（此时PC=QC），
秒（此时PQ=QC），或
秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形；∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC=
=
=10，当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=
秒；当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=
，CQ=t，可证△CEQ∽△CBA，故
=
，即
=
，解得t=
秒；当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=
，PC=10-2t，可证△PCE∽△ACB，故
=
，即
=
，解得t=
秒．
（3）如图3，过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽△ACB
∴
=
=
，即
=
=
∴PF=6-
，FC=8-
则在直角△PFQ中，PQ2=PF2+FQ2=（6-
）2+（8-
-t）2=
t2-56t+100如图4，当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ2=
t2-56t+100=9t2，
整理得：t2+70t-125=0
解得：t1=15
-35，t2=-15
-35＜0（舍去）故当⊙P与⊙Q外切时，t=（15
-35）秒；当⊙P与⊙Q内切时，PQ=PA-QC=t，此时，
∵PQ2=PF2+FQ2，
∴PQ2=
t2-56t+100=t2整理得：9t2-70t+125=0，解得：t1=
，t2=5故当⊙P与⊙Q内切时，t=
秒或5秒．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及圆和圆的位置关系，正确把图形之间的位置关系转化为线段之间的相等关系是解题的关键．
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