题目内容

如图，在直角坐标系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=3，BC=4，点A在y轴上，点C在x轴上．
（1）过点A作⊙M的切线交x轴于点P，求直线PA的解析式；
（2）点F为线段PC上的一点，连接AF，若AF将四边形ABCP面积平分，求点F的坐标；
（3）如果点E为PA上的一个动点（不运动到点P，点A），直线EF将四边形PABC的周长平分，设点E纵坐标为t，△PEF的面积为S，求S与t的函数关系式，并求自变量t的取值范围；直线EF能否将四边形PABC的周长和面积同时平分？若存在，请求出直线EF的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）连接AC，则AC⊥AP，PO= $\text{[math]}$ ，
∴P（ $\text{[math]}$ ，0），直线PA的解析式为 $\text{[math]}$ ；

（2）S_PABC= $\text{[math]}$ ，设PF=a，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴F（ $\text{[math]}$ ，0）；

（3）过E作EN⊥x轴于N， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，PE= $\text{[math]}$ ，
四边形PABC的周长是22，直线EF将周长平分，
PE+PF=11，PF=11 $\text{[math]}$ ，
S= $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，化简得5t²-33t+68=0，
△=1089-1360＜0，
所以这样的EF不存在．
分析：（1）连接AC，则AC⊥AP，先求出PO，再求出点P坐标，就可得出PA的解析式；
（2）先求出四边形PABC的面积，再设PF，求出PF的长度，就可得出点F的坐标；
（3）过E作EN⊥x轴于N，由三角形相似得出各线段比，然后求出PE，PF，再得出t的取值范围，然后用t表示S，最后由△得出EF，不存在．
点评：本题涉及一次函数的综合性质，难度中上．