题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．则下列结论：①若∠MFC=120°，则∠MAB=30°；②∠MPB=90°-
∠FCM；③△ABM∽△CEF； ④S梯形AMCD-2S△EFC=3S△MFC，正确的是（ ）A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④
【答案】分析：连接DF，MD，根据线段的垂直平分线的性质，以及CF=AD，MF=MA，即可证明△AMD≌△FMD≌△FMC，根据相似三角形的性质即可判断．
解答：解：连接DF，MD，
①∵ME⊥CD，E为CD中点
∴ME垂直平分CD
∴MC=MD，
在△CMF和△DMA中，
∵
，
∴△CMF≌△DMA
∴∠MAD=∠MFC=120°
又∵∠BAD=90°
∴∠MAB=30°
故①正确；
∴AM=2MB
②∵△CMF≌△DMA
∴∠FCM=∠ADM
又∵AD‖BC
∴∠CMD=∠ADM=∠FCM
∵MC=MD，ME为CD边中垂线
∴ME为∠DMC的角平分线
∴∠BMP=
∠CMD=
∠FCM
又∵AB⊥BC
∴∠MPB+∠BMP=90°
∴∠MPB=90°-
∠FCM
故②正确；
③∵∠AMD=∠DMP=∠EMC，∠EFC=∠FMC+∠FCM
∴∠AMB=∠EFC
∵∠ABM=∠MEC
∴△ABM∽△CEF
故③正确．
④由题意得出：△AMD≌△FMD≌△FMC，
∴S△AMD=S△FMD=S△FMC
∴S梯形AMCD-S△AMD-S△FMD-S△FMC=S△DEF+S△EFC
又∵S△DEF=S△EFC
即S梯形AMCD-3S△FMC=2S△EFC
∴S梯形AMCD-2S△EFC=3S△MFC，
故④正确；
故正确的是①②③④．
故选D．
点评：本题主要考查了线段的垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，注意到△AMD≌△FMD≌△FMC是解决本题的关键．
解答：解：连接DF，MD，
①∵ME⊥CD，E为CD中点
∴ME垂直平分CD
∴MC=MD，
在△CMF和△DMA中，
∵
，∴△CMF≌△DMA
∴∠MAD=∠MFC=120°
又∵∠BAD=90°
∴∠MAB=30°
故①正确；
∴AM=2MB
②∵△CMF≌△DMA
∴∠FCM=∠ADM
又∵AD‖BC
∴∠CMD=∠ADM=∠FCM
∵MC=MD，ME为CD边中垂线
∴ME为∠DMC的角平分线
∴∠BMP=
∠CMD=∠FCM 又∵AB⊥BC
∴∠MPB+∠BMP=90°
∴∠MPB=90°-
∠FCM故②正确；
③∵∠AMD=∠DMP=∠EMC，∠EFC=∠FMC+∠FCM
∴∠AMB=∠EFC
∵∠ABM=∠MEC
∴△ABM∽△CEF
故③正确．
④由题意得出：△AMD≌△FMD≌△FMC，
∴S△AMD=S△FMD=S△FMC
∴S梯形AMCD-S△AMD-S△FMD-S△FMC=S△DEF+S△EFC
又∵S△DEF=S△EFC
即S梯形AMCD-3S△FMC=2S△EFC
∴S梯形AMCD-2S△EFC=3S△MFC，
故④正确；
故正确的是①②③④．
故选D．
点评：本题主要考查了线段的垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，注意到△AMD≌△FMD≌△FMC是解决本题的关键．
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