Question

如图，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．
①试说明△OBC是等腰三角形；
②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．

Answer 1

解：①∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA；
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC=∠BCO；
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．

②在△AOB与△AOC中．
∵，
∴△AOB≌△AOC（SSS）；
∴∠BAO=∠CAO；
∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）
分析：①根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC；
②首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定和角平分线的定义，对各知识点要能够熟练运用．