题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $数学公式$ 经过点A（-2，0）和原点O，顶点是D．
（1）求抛物线y=ax²+2 $数学公式$ x+c的解析式；
（2）在x轴的上方的抛物线上有点M，连接DM，与线段OA交于N点，若S_△MON：S_△ODN=2：1，求点M的坐标；
（3）若点H是x轴上的一点，以H、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一个顶点F在y轴上，写出H点的坐标（直接写出答案，不要求写出计算过程）．

解：（1）∵抛物线y=ax²+2 $\text{[math]}$ x+c经过点A和点O，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式是 $\text{[math]}$ ．

（2）由抛物线y= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ 知其顶点D的坐标是（-1，- $\text{[math]}$ ）．
设点M的坐标是（x₀，y₀），且y₀＞0．
∵S_△MON：S_△ODN=2：1，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵y_M：|y_D|=2：1，|y_D|= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
将y_M=2 $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ x²+2 $\text{[math]}$ x中，得x=-1± $\text{[math]}$ ，
∴满足条件的点M有两个，即M₁（-1+ $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），M₂（-1- $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）．

（3）如图：满足条件的H点有3个，它们分别是H₁（-1，0），H₂（-3，0），H₃（1，0）．

分析：（1）由抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A（-2，0）和原点O，利用待定系数法求解即可求得二次函数的解析式；
（2）首先由抛物线y= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ 求得顶点D的坐标，然后由S_△MON：S_△ODN=2：1，可得y_M：|y_D|=2：1，则可求得点M的纵坐标，再将其代入函数解析式，即可求得点M的横坐标，则问题的解；
（3）由平行四边形的性质，分别以AF，AD，DF为对角线去分析即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积的比以及平行四边形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．