Question

如图，P为⊙O的直径AB反向延长线上一点，PQ切⊙O于点Q，若tan∠P=，则tan∠B的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：连接OQ，AQ，过A作AM⊥PQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到PQ垂直于OQ，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出tanP，设OQ=3k，得到PQ=4k，利用勾股定理得到OP=5k，由OP-OA表示出AP，再由一对直角相等，一对公共角，得到三角形APM与三角形OPQ相似，由相似得比例，表示出AM，在直角三角形APM中，利用勾股定理表示出PM，由PQ-PM表示出MQ，由弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠PQA=∠B，可得出tan∠PQA=tanB，在直角三角形AQM中，利用锐角三角函数定义求出tan∠PQA的值，即为tanB的值．
解答：解：连接OQ，AQ，过A作AM⊥PQ，如图所示：
∵PQ为圆O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，tanP==，
设OQ=3k，则PQ=4k，根据勾股定理得：OP=5k，
AP=OP-OA=5k-3k=2k，
∵∠OQP=∠AMP=90°，∠P=∠P，
∴△APM∽△OPQ，
∴=，
∴AM==k，
在Rt△APM中，AP=2k，AM=k，
根据勾股定理得：PM==k，
∴MQ=PQ-PM=4k-k=k，
∵∠PQA=∠B，
∴tanB=tan∠PQA===．
故选B
点评：此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．