题目内容

若将边长为1的5个正方形拼成图1的形状，然后将图1按斜线剪开，再将剪开后的图形拼成图2所示的正方形，那么这个正方形的边长是________．

$\text{[math]}$
分析：由于每个小正方形面积为1，所以新形成的图形面积即可求出，直接开平方求解．
解答：根据图形可知，
这个正方形的面积是5，
所以它的边长是 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了不规则图形的面积的求解方法：割补法．补成规则的图形后的面积还是和原来的面积是相等的．

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如图，将边长为8的等边△AOB置于平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，过点O作OC⊥AB于点C，将△OAC绕着原点O逆时针旋转60°得到△OBD，这时，点D恰好落在y轴上．若动点E从原点O出发，沿线段OC向终点C运动，动点F从点D出发，沿线段DO向终点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度．设运动的时间为t秒．
（1）请直接写出点A、点D的坐标；
（2）当△OEF的面积为

时，求t的值；
（3）设EF与OB相交于点P，当t为何值时，△OPF与△OBD相似？

如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点

的坐标是（1，0）．
（1）直线y=

经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l₁经过点F（-

，0）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l₁于点N，求△NMF的面积．

如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．
（1）直线 $数学公式$ 经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l₁经过点F（ $数学公式$ ）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l₁于点N，求△NMF的面积．

翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。）

（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；

图①

（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：

图②

问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是。

（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程。

图③

②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程。

图④

（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。

如图，将边长为8的等边置于平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，过点作于点，将绕着原点逆时针旋转得到，这时，点恰好落在轴上.若动点从原点出发，沿线段向终点运动，动点从点出发，沿线段向终点运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度.设运动的时间为秒．

（1）请直接写出点、点的坐标；

（2）当的面积为时，求的值；

（3）设与相交于点，当为何值时，与相似？